Ecuaciones recíprocas de grado 5

Las ecuaciones recíprocas de grado 5 tienen la forma

Los términos que equidistan del término central $cx^2$ tienen coeficientes iguales.

Ejemplo: Determine la solución de la ecuación

$$x^{5}+2x^{4}-3x^{3}-3x^{2}+2x+1=0$$

Extrayendo factor común:

$$(x^{2}+\frac{1}{x^{2}})+(x+\frac{1}{x})-4=0$$

Considerando el cambio de variable:

$$u=x+\frac{1}{x}\rightarrow u^{2}=(x+\frac{1}{x})^{2}\rightarrow u^{2}=x^{2}+\frac{1}{x^{2}}+2\rightarrow u^{2}-2=x^{2}+\frac{1}{x^{2}}$$

   Sustituyendo $u=x+\frac{1}{x}$    y    $u^{2}-2=x^{2}+\frac{1}{x^{2}}$ en la ecuación, tenemos:

$$u^{2}-2+u-4=0$$

    Que es equivalente a 

$$u^{2}+u-6=0$$

   Resolviendo la ecuación, mediante la resolvente, hallamos que

$u=2$  y  $u=2$

   Ahora, devolviendo el cambio de variable para cada valor de $u$:

   Para $u=2$

$$2=x+\frac{1}{x}$$

   Multiplicando por x tenemos:

$$2x=x^{2}+1\rightarrow x^{2}-2x+1=0$$

   Resolviendo la ecuación de segundo grado obtenemos que $x=1$

    Para $u=-3$

$$-3=x+\frac{1}{x}$$

   Multiplicando por x tenemos:

$$-3x=x^{2}+1\rightarrow x^{2}+3x+1=0$$

   Resolviendo la ecuación de segundo grado obtenemos que

$x=\frac{-3+\sqrt{5}}{2}$  y  $x=\frac{-3-\sqrt{5}}{2}$

      Luego, las soluciones de la ecuación son: $-1$, $1$, $\frac{-3+\sqrt{5}}{2}$, $\frac{-3-\sqrt{5}}{2}$

Video explicativo