Ecuaciones recíprocas de grado 5
Las ecuaciones recíprocas de grado 5 tienen la forma
Los términos que equidistan del término central \(cx^2\) tienen coeficientes iguales.
Ejemplo: Determine la solución de la ecuación
\[x^{5}+2x^{4}-3x^{3}-3x^{2}+2x+1=0\]
\(x=-1\) siempre será solución de las ecuaciones reciprocas de grado 5 por lo que podemos aplicar Ruffini y dividir por \(x+1\) → \(x=-1\)
Utilizando \(x^{4}+x^{3}-4x^{2}+x+1=0\), que es el cociente
igualado a cero, podemos determinar las otras soluciones de la ecuación.
Si te fijas la ecuación obtenida es recíproca de grado
4, por lo que sigue es aplicar los pasos
para resolver este tipo de ecuaciones.
Dividiendo la ecuación por \(x^{2}\) tenemos:
\[\frac{x^{4}}{x^{2}}+\frac{x^{3}}{x^{2}}-\frac{4x^{2}}{x^{2}}+\frac{x}{x^{2}}+\frac{1}{x^{2}}=0\]
Simplificando:
\[x^{2}+x-4+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{2}}=0\]
Extrayendo factor común:
Considerando el cambio de variable:
\[u=x+\frac{1}{x}\rightarrow u^{2}=(x+\frac{1}{x})^{2}\rightarrow u^{2}=x^{2}+\frac{1}{x^{2}}+2\rightarrow u^{2}-2=x^{2}+\frac{1}{x^{2}}\]
Sustituyendo \(u=x+\frac{1}{x}\) y \(u^{2}-2=x^{2}+\frac{1}{x^{2}}\) en la ecuación, tenemos:
\[u^{2}-2+u-4=0\]
Que es equivalente a
\[u^{2}+u-6=0\]
Resolviendo la ecuación, mediante la
resolvente, hallamos que
\(u=2\) y \(u=2\)
Ahora, devolviendo el cambio de variable para cada valor de \(u\):
Para \(u=2\)
\[2=x+\frac{1}{x}\]
Multiplicando
por x tenemos:
\[2x=x^{2}+1\rightarrow x^{2}-2x+1=0\]
Resolviendo la ecuación de segundo grado obtenemos que \(x=1\)
Para \(u=-3\)
\[-3=x+\frac{1}{x}\]
Multiplicando
por x tenemos:
\[-3x=x^{2}+1\rightarrow x^{2}+3x+1=0\]
Resolviendo
la ecuación de segundo grado obtenemos que
\(x=\frac{-3+\sqrt{5}}{2}\) y \(x=\frac{-3-\sqrt{5}}{2}\)
Luego, las soluciones de la ecuación son: \(-1\), \(1\), \(\frac{-3+\sqrt{5}}{2}\), \(\frac{-3-\sqrt{5}}{2}\)
