Ejemplo: Determine la solución de la ecuación

Dividiendo la ecuación por $x^2$ tenemos:

 

$$\frac{3x^{4}}{x^2{}}+\frac{4x^3{}}{x^{2}}-\frac{14x^{2}}{x^{2}}+\frac{4x}{x^{2}}+\frac{3}{x^{2}}=0$$

Simplificando:

$$3x^{2}+4x-14+\frac{4}{x}+\frac{3}{x^{2}}=0$$

Extrayendo factor común:

$$3\left ( x^{2}+\frac{1}{x^{2}} \right )+4\left ( x+\frac{1}{x} \right )-14=0$$

Considerando el cambio de variable: 

$$u=x+\frac{1}{x}→ u^{2}=\left (x+\frac{1}{x} \right )^{2}→u^{2}=x^{2}+\frac{1}{x^{2}}+2→ u^{2}-2=x^{2}+\frac{1}{x^{2}}$$

   Sustituyendo $u=x+\frac{1}{x}$  y  $u^{2}-2=x^{2}+\frac{1}{x^{2}}$                         en la ecuación tenemos:

     

   

$$3(u^2-2)+4u-14=0$$

    Que es equivalente a:

   

$$3u^2+4u-20=0$$

  

   Resolviendo la ecuación, mediante la resolvente, hallamos      que:

$u=2$  y  $u=-\frac{10}{3}$    

    Ahora, devolviendo el cambio de variable para cada valor       de $u$:

   Para  $u=2$

   

$$2=x+\frac{1}{x}$$

Multiplicando por x tenemos:

$$2x=x^2+1→ x^2-2x+1=0$$

       Resolviendo la ecuación de segundo grado obtenemos que $x=1$

    Para $u=\frac{-10}{3}$

Multiplicando por x tenemos:

$$-\frac{10}{3}x=x^{2}+1→x^{2}+\frac{10}{3}x+1=0$$

  Resolviendo la ecuación de segundo grado obtenemos que $x=-3$  y  $x=-\frac{1}{3}$

   Luego, las soluciones de la ecuación son: $1, -3, -\frac{1}{3}$

   Video explicativo