Ejemplo: Determine la solución de la ecuación

Dividiendo la ecuación por \(x^2\) tenemos:

 \[\frac{3x^{4}}{x^2{}}+\frac{4x^3{}}{x^{2}}-\frac{14x^{2}}{x^{2}}+\frac{4x}{x^{2}}+\frac{3}{x^{2}}=0\]

Simplificando:

\[3x^{2}+4x-14+\frac{4}{x}+\frac{3}{x^{2}}=0\]

Extrayendo factor común:

\[3\left ( x^{2}+\frac{1}{x^{2}} \right )+4\left ( x+\frac{1}{x} \right )-14=0\]

Considerando el cambio de variable: 

\[u=x+\frac{1}{x}→ u^{2}=\left (x+\frac{1}{x} \right )^{2}→u^{2}=x^{2}+\frac{1}{x^{2}}+2→ u^{2}-2=x^{2}+\frac{1}{x^{2}}\]

   Sustituyendo \(u=x+\frac{1}{x}\)  y  \(u^{2}-2=x^{2}+\frac{1}{x^{2}}\)                         en la ecuación tenemos:

   \[3(u^2-2)+4u-14=0\]

    Que es equivalente a:

   \[3u^2+4u-20=0\]

   Resolviendo la ecuación, mediante la resolvente, hallamos      que:

\(u=2\)  y  \(u=-\frac{10}{3}\)    

    Ahora, devolviendo el cambio de variable para cada valor       de \(u\):

   Para  \(u=2\)

   \[2=x+\frac{1}{x}\]

Multiplicando por x tenemos:

\[2x=x^2+1→ x^2-2x+1=0\]

       Resolviendo la ecuación de segundo grado obtenemos que \(x=1\)

    Para \(u=\frac{-10}{3}\)

Multiplicando por x tenemos:

\[-\frac{10}{3}x=x^{2}+1→x^{2}+\frac{10}{3}x+1=0\]

  Resolviendo la ecuación de segundo grado obtenemos que \(x=-3\)  y  \(x=-\frac{1}{3}\)

   Luego, las soluciones de la ecuación son: \(1, -3, -\frac{1}{3}\)

   Video explicativo