Ejercicios sobre el método de los coeficientes indeterminados
☛ Ejemplo:
Usando el método de los coeficientes indeterminados, realicemos la división p(x) ÷ q(x)
\[(x^{4}-x^{3}+x-1)\div(x^{2}-1)\]
Como el dividendo es de grado 4 y el divisor de grado 2, el
cociente será de grado 2. El residuo será un grado menor que el divisor y será
por tanto de grado 1. Luego:
Cociente \(c(x)= ax^{2}+bx+c\)
Resto \(R(x)=dx+e\)
Considerando la ecuación de la división \(p(x)=q(x).c(x)+r(x)\) y sustituyendo los polinomios:
\[x^{4}-x^{3}+0x^{2}+x-1=(x^{2}-1).(ax^{2}+bx+c)+dx+e\]
Aplicando propiedad distributiva:
\[x^{4}-x^{3}+0x^{2}+x-1=ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}-ax^{2}-bx-c+dx+e\]
Agrupando términos y sacando factor común:
\[x^{4}-x^{3}+0x^{2}+x-1=ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}-ax^{2}-bx+dx+-c+e\]
\[x^{4}-x^{3}+0x^{2}+x-1=ax^{4}+bx^{3}+(c-a)x^{2}+(-b+d)x-c+e\]
Igualando coeficientes de igual grado:
a = 1 b = -1 c - a = 0 d - b = 1 e - c = -1
Resolviendo obtenemos:
a = 1 b= -1 c = 1 d = 0 e = 0
Entonces el cociente y el residuo son:
Cociente \(C(x)= x^{2}-x+1\)
Residuo \(R(x)=0\)
