Es una de las herramientas matemáticas más fundamentales y versátiles, ya que permite modelar relaciones de cambio constante entre dos variables. A continuación, se detallan sus aspectos teóricos principales:
Es una función polinómica de primer grado.
Su expresión general es: f(x)=mx+b
● x: es la variable independiente.
● f(x) o y: Es la variable dependiente.
● m: es la pendiente. Indica la inclinación de la recta y la tasa de cambio.
● b: es la ordenada al origen (punto de corte con el eje y).
Características Principales
La representación gráfica de una función lineal en el plano cartesiano es siempre una línea recta.
● Pendiente (m):
Ejemplos:
a) f(x)=2x+3
● Pendiente (m=2): Al ser un número positivo (2>0), la recta sube de izquierda a derecha (creciente).
● Punto de corte con el eje Y (b=3): La recta atraviesa el eje vertical exactamente en el punto (0,3).
b) f(x)=−3x+1
● Pendiente (m=−3): Al ser un número negativo (−3<0), la recta baja de izquierda a derecha (decreciente).
● Punto de corte con el eje Y (b=1): La recta atraviesa el eje vertical en el punto (0,1).
c) f(x)= -4
● Pendiente (m= 0): Al ser cero (−3<0), la gráfica es una recta.
● Punto de corte con el eje Y (b= - 4): La recta atraviesa el eje vertical en el punto (0,4).
Resumen para identificar los elementos:
● Dominio y Rango: En una función lineal, tanto el dominio como el rango son todos los números reales (R), a menos que el contexto del problema restrinja los valores.
Dom f(x)= R Rg f(x)= R
● Tasa de variación constante: Por cada unidad que aumenta x, y aumenta o disminuye siempre en la misma cantidad (m).
Aplicaciones en la Vida Cotidiana
La función lineal es ideal para situaciones donde algo cambia a un ritmo fijo. Algunos ejemplos reales son:
✓ Economía y Comercio: Calcular el costo total de una compra. Si cada cuaderno cuesta \$2 (pendiente) y el envío tiene un costo fijo de \$5 (ordenada al origen), la función sería f(x)=2x+5.
✓ Física: El Movimiento Rectilíneo Uniforme (MRU). La distancia recorrida por un objeto que se mueve a velocidad constante se modela como d=v⋅t.
✓ Servicios Públicos: El pago de una factura de agua o luz, donde suele haber un cargo fijo mensual más un costo por cada unidad de consumo (m3 o kWh).
Pasos para realizar la gráfica de una función lineal
Graficar una función lineal de la forma f(x) = mx + b es un proceso fundamental en álgebra. Aquí te explico tres métodos paso a paso para lograrlo.
1. Método de Tabulación (Tabla de Valores)
Este es el método más seguro y universal. Consiste en elegir valores para x y calcular su correspondiente y.
● Paso 1: Dibuja una tabla con dos columnas (x y y).
● Paso 2: Elige al menos tres valores para x (por ejemplo: -1, 0, 1).
● Paso 3: Sustituye cada valor en la función para obtener y.
● Paso 4: Ubica los puntos (x, y) en el plano cartesiano.
● Paso 5: Une los puntos con una línea recta.
Ejemplo: Graficar la función f(x) = 3x + 1
Se basa en encontrar dónde la recta corta a cada eje. Ideal para funciones en forma general (como Ax + By = C).
● Paso 1: Hallar la intersección con el eje y. Haz que x = 0 y resuelve para y. Marca el punto (0, y).
● Paso 2: Hallar la intersección con el eje x. Haz que y = 0 y resuelve para x. Marca el punto (x, 0).
● Paso 3: Une estos dos puntos con una regla.
Ejemplo: graficar la función f(x) = 3x + 1
● Intersección con el eje y, entonces sustituyendo x = 0, tenemos:
f(0) = 3.0 + 1=1 ubicar en el plano el punto (0, 1)
● Intersección con el eje x, entonces sustituyendo y = 0 y despejando x, tenemos:
3x + 1 = 0→x = -1/3 ubicar en el plano el punto (-1/3, 0).
Es el método más rápido si la función ya está escrita como y = mx + b.
● Paso 1: Ubica la ordenada al origen (b). Marca el punto (0, b) en el eje vertical (y). Este es tu punto de partida.
● Paso 2: Usa la pendiente (m). Recuerda que
m = desplazamiento vertical/ desplazamiento horizontal
✓ Si m = 2/3, desde tu punto b, sube 2 unidades y muévete 3 a la derecha.
✓ Si la función es decreciente (m es negativa), baja en lugar de subir.
● Paso 3: Marca el segundo punto donde terminaste el movimiento.
● Paso 4: Traza la recta que pasa por ambos puntos.
Ejemplo: graficar la función f(x) = 3x + 1
● Ubica el punto de corte (0, 1)
● Usa la pendiente (m = 3). Esto significa que por cada unidad que avanzamos en el eje x, la recta sube 3 unidades en el eje y. desde ese punto (0, 1), camina una unidad a la derecha y sube tres unidades. Marca ese nuevo punto (que sería el (1, 4)).
● Utiliza tu regla para unir ambos puntos y extiéndela a lo largo del plano.
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